Эффективная масса. Эффективная масса электрона в кристалле и ее физический смысл Эффективная масса
Понятие эффективной массы электрона является лишь удобным способом описания движения электрона, находящегося в периодическом поле кристалла, под действием внешнего электрического поля. Сама же эффективная масса не является массой в обычном смысле этого слова. Она не определяет ни запаса энергии, ни инерционных, ни гравитационных свойств электрона. По величине она может быть как больше, так и меньше истинной массы электрона. Более того, m * может быть как положительной, так и отрицательной. Эффективная масса является лишь коэффициентом пропорциональности в соотношении (5. 15), связывающем внешнюю силу с ускорением движения электрона. Она имеет смысл лишь до тех пор, пока энергия электрона ε может быть выражена как квадратичная функция волнового числа. В этом случае m * сохраняется постоянной. Из рис. 5. 7 видно, что это имеет место при k , отвечающем дну и вершине энергетической зоны. В первом случае m * 7 видно, что это имеет место при k , отвечающем дну и вершине энергетической зоны. >0, во втором m * <0. Вблизи же точек перегиба m * перестает быть аналогом массы. К счастью, практически всегда приходится иметь дело с электронами, располагающимися или дна зоны или у ее вершины. К этим электронам вполне применимо понятие эффективной массы, чем и оправдывается введение этого понятия.
Характерной особенностью эффективной массы в кристалле является то, что ее величина зависит не только от состояния электрона (положения в энергетической зоне), но и от направления движения электрона. Зависимость эффективной массы от направления движения электрона объясняется анизотропией кристалла: при движении электрона силы взаимодействия его с кристаллической решеткой различны в различных кристаллографических направлениях. Причем в твердом теле с сильно анизотропной кристаллической структурой m * может быть положительной для одних направлений и отрицательной для других.
Понятие о дырках
Предположим, что данная энергетическая зона целиком заполнена электронами (рис. 5.8 а). Электроны, располагающиеся на верхних уровнях зоны, обладают отрицательной эффективной массой (ускоряются в направлении, противоположном действию внешней силы) и отрицательным зарядом - е. Удалим с одного из таких уровней электрон (5.8,б ). Так как зона была целиком заполнена отрицательно заряженными электронами, то освобожденный уровень, не укомплектованный электроном, будет вести себя как частица, обладающая положительным зарядом, численно равным заряду электрона + е. Кроме того, так как электроны верхних уровней зоны обладают отрицательной эффективной массой, то освобожденный уровень будет вести себя как частица, обладающая положительной эффективной массой, численно равной эффективной массе электрона, занимающего этот уровень. Таким образом, освобождение одного из верхних уровней занятой энергетической зоны эквивалентно появлению в ней частицы, обладающей положительным зарядом и положительной эффективной массой. Такую фиктивную частицу называют дыркой.
Дырки играют исключительно важную роль в определении электрических свойств твердых тел. В телах, имеющих почти целиком заполненные энергетические зоны, электрический ток возникает в результате направленного движения дырок. Такой дырочной проводимостью обладает, в частности, ряд металлов. Но особенно большое значение дырочный механизм проводимости имеет в полупроводниках.
Заполнение зон электронами
Каждая энергетическая зона содержит, как мы выяснили, ограниченное число энергетических уровней. В соответствии с принципом Паули на каждом таком уровне может разместиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. При ограниченном числе электронов, содержащихся в твердом теле, заполненными окажутся лишь несколько наиболее низких энергетических зон.
Рассмотрим более подробно
процесс заполнения зон электронами, когда эти зоны
не перекрываются.
Зависимость энергии электрона от волнового
числа для этого случая изображена на рис. 5. 6. При небольших значениях k
(вблизи начала координат) кривая ε
(k
) представляет собою параболу 
:
Вследствие этого электроны, заполняющие энергетические уровни, располагающиеся у дна зоны, ведут себя как свободные электроны с эффективной массой m *. Поэтому их распределение по энергиям, как и распределение свободных электронов, подчиняется статистике Ферми - Дирака. Именно число электронов в единице объема твердого тела d п, энергия которых заключена в пределах от ε до ε + d ε равно
(5.18)
где
– функция Ферми –Дирака, µ
- химический потенциал,
отнесенный к одной частице,k
Б
– постоянная
Больцмана, Т
– абсолютная температура.
Подробнее функция распределения Ферми –Дирака будет обсуждаться позже. Пока лишь отметим, что в системе электронов металла при абсолютном нуле он совпадает с уровнем Ферми (µ = ε F ). Но неверно считать уровень химического потенциала уровнем Ферми во всех остальных случаях. Уровнем Ферми называют реальное одноэлектронное состояние, которым заканчивается заполнение энергетических состояний при абсолютном нуле. В чистом полупроводнике уровень Ферми совпадает с потолком валентной зоны. А химический потенциал при малых температурах лежит вблизи центра запрещенных энергий между валентной зоной и зоной проводимости.
При абсолютном нуле для состояний с ε < µ f (ε ) = 1 и
(5.19)
На рис. 5.9 представлена кривая зависимости числа электронов в зоне от энергии ε . Участок О d этой кривой отвечает формуле (5.19) и соответствует распределению по энергиям свободных электронов с эффективной массой т*.
По мере заполнения зоны квадратичная зависимость энергии электронов от волнового числа, характерная для свободных электронов, выполняется все хуже и хуже (рис.5.6), и кривая зависимости п от ε отходит от параболы, выраженной уравнением (5. 19).
Как было показано при рассмотрении модели Кронига и Пенни, энергия электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, Однако для практических целей удобно сохранить зависимость энергии электрона от квазиимпульса в классическом виде, а все различия, вызванные влиянием периодического поля, включить в массу электрона. Тогда в формуле вместо появляется некоторая функция энергии называемая эффективной массой.
Так как в точках энергия имеет максимум или минимум (см. рис. 9), то первая производная равна нулю. Ограничиваясь вторым приближением, из (2.43) находим
Следовательно, роль эффективной массы играет величина
В низших точках разрешенных зон имеет минимумы, а вторая производная от по больше нуля. Поэтому на дне зоны эффективная масса положительна, а в вершинах зон отрицательна, поскольку В некоторой точке в центре зоны Очевидно, разложение энергии в степенной ряд (2.43) и формула (2.44) справедливы только вблизи экстремальных точек. Понятие эффективной массы имеет более широкие границы применимости и может быть введено исходя из принципа соответствия.
Известно, что средние квантовомеханические величины удовлетворяют тем же соотношениям, что и соответствующие им классические величины. Так, волновые пакеты, составленные из решений уравнения Шредингера, движутся по траекториям классических частиц . Поэтому уравнению Ньютона
должен соответствовать квантовомеханический аналог.
Средняя скорость электрона равна групповой скорости волнового пакета . Для одномерного движения а в общем случае
где единичные векторы, направленные вдоль осей
Так как энергия зависит от времени только через волновой вектор к, то ускорение можно представить в виде
В правой части (2.48) стоит произведение тензора
на вектор следовательно
что по форме совпадает с классической формулой (2.46).
Таким образом, в квантовой механике кристаллов величиной, обратной эффективной массе, является тензор второго ранга с компонентами Качественно эффективную массу можно исследовать, рассматривая кривизну графика как функции к. Анизотропные свойства становятся наглядными, если построить изоэнергетические поверхности в k-пространстве, удовлетворяющие уравнению Если не зависит от направления к, а определяется лишь величиной вектора, то изоэнергетические поверхности будут сферами, а тензор (2.49) перейдет в скалярную величину Эллипсоидальным изоэнергетическим поверхностям соответствует тензор обратной эффективной массы диагонального вида. В этом случае вблизи экстремальных точек зависимость энергии от имеет вид
F (закон Ньютона), но с Э. м. m*, отличной от массы m свободного эл-на. Это отличие отражает вз-ствие эл-на проводимости с решёткой. В простейшем случае Э. м. определяется соотношением:
Понятие Э. м. обобщают для др. типов возбуждений (фононов, фотонов, экситонов и др.). Если зависимость?(р) (дисперсии закон) анизотропна, то Э. м. представляет собой (тензор обратных эфф. масс)
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .
ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА
Величина, имеющая размерность массы и характеризующая динамич. свойства квазичастиц.
Напр., движение электрона проводимости
в кристалле под действием внеш. силы F
и сил со стороны кристаллич. решётки в ряде случаев может быть описано как движение свободного электрона, на к-рый действует только сила F
(закон Ньютона), но с Э. м. т,
отличной от массы т
0 свободного электрона. Это отличие отражает электрона проводимости с решёткой (см. Твёрдое тело, Зонная теория, Квазиклассическое ).
В простейшем случае изотропной зависимости энергии электрона от его квазиимпульса р
Э. м.- скалярная величина, определяемая соотношением
Если зависимость ( р
) (дисперсии закон
)анизотропна, то Э. м. представляет собой тензор. Компоненты тензора обратных Э. м.
Это означает, что ускорение электрона в кристаллич. решётке в общем случае направлено не параллельно внеш. силе F
.
Оно может быть направлено даже антипараллельно F
,
что соответствует отрицат. значению Э. м. Для электронов с отрицат. Э. м. оказалось удобным ввести в рассмотрение положительно заряженные квазичастицы- дырки с положительной Э. м.
При изучении гальваномагнитных явлений пользуются т. н. циклотронной Э. м. электронов и дырок:
где S-
площадь сечения изоэнергетич. поверхности ( р
) = const плоскостью, перпендикулярной магн. полю Н.
Наиб. важные методы определения Э. м. электронов проводимости и дырок в металлах и полупроводниках - циклотронный ,
измерение электронной теплоёмкости
и др.
Из-за электрон-фононного взаимодействия
Э. м. электронов, движущихся в ионов кристаллич. решётки, перенормируется, причём макс. перенормировку претерпевает Э. м. электронов на (и вблизи) фермы-поверхности;
у электронов с энергией 
(w D
-дебаевская частота) Э. м. практически не перенормируется. Благодаря этому в ф-лы, описывающие термодинамич. и кинетич. свойства металлов при низких темп-pax (kT<<
), входит перенормированная Э. м., а в ф-лы, описывающие свойства металла при kT>>
, а также оптич. свойства для частот w>>w D
,- неперенормированная Э. м.
Понятие Э. м. обобщают для др. типов квазичастиц ( фононов, фотонов, экситонов
и др.). В теории квантовой жидкости
для квазичастиц - фермионов
с изотропным законом дисперсии Э. м. наз. отношение m=p
0 /
u 0 ,
где р
0 и u 0 - абс. значения импульса и скорости квазичастиц при абс. нуле темп-ры, соответствующие ферми-энергии.
Э. м. атома жидкого 3 Не равна 3,08 m
0 , где т
0 -
масса свободного атома 3 Не (см. Гелий жидкий).
Лит. см. при ст. Квазичастица. М. И. Каганов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .
Смотреть что такое "ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА" в других словарях:
Эффективная масса - произведение эффективной длины образца на площадь его поперечного сечения и плотность материала. Источник: ГОСТ 12119.0 98: Сталь электротехническая. Методы определения магнитных и электрических свойств. Общие требования … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
эффективная масса - носителя заряда; эффективная масса Величина, имеющая размерность массы и характеризующая движение носителя заряда в полупроводнике под действием электромагнитного поля, так же как масса свободного электрона, характеризует его движение … Политехнический терминологический толковый словарь
Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц. Напр., движение электронов проводимости в кристалле под действием внешней силы может быть описано как движение свободного электрона, но с эффективной массой,… … Большой Энциклопедический словарь
В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так … Википедия
Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц. Например, движение электронов проводимости в кристалле под действием внешней силы может быть описано как движение свободного электрона, но с эффективной… … Энциклопедический словарь
эффективная масса - efektyvioji masė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. effective mass vok. effektive Masse, f; wirksame Masse, f rus. эффективная масса, f pranc. masse effective, f … Fizikos terminų žodynas
Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц (См. Квазичастицы). Например, движение электрона проводимости (См. Электрон проводимости) в кристалле под действием внешней силы F и сил со стороны… … Большая советская энциклопедия
Носителей тока хар ка электронов проводимости и дырок в зонной теории твёрдого тела, используемая для описания действия на них внеш. электромагнитного поля. На носители тока, помимо внеш. поля, действует также внутр. периодич. поле кристалла.… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамич. свойства квазичастиц. Напр., движение электронов проводимости в кристалле под действием внеш. силы может быть описано как движение свободного электрона, но с Э. м., отличной от массы… … Естествознание. Энциклопедический словарь
эффективная масса носителя заряда полупроводника - эффективная масса носителя заряда Величина, имеющая размерность массы и характеризующая движение носителя заряда в полупроводнике под действием внешнего электромагнитного поля. [ГОСТ 22622 77] Тематики материалы полупроводниковые Синонимы… … Справочник технического переводчика
Книги
- Как привести дела в порядок. Искусство продуктивности без стресса , Аллен Дэвид. О книге О том, как стать хозяином своей жизни - по крайней мере на работе. Эта методика - результат двадцатилетней работы автора. Среди российских менеджеров она стала мегапопулярной еще до…
Рассмотрим
движение электрона под действием
внешнего электрического поля. Предположим
сначала, что мы имеем дело со свободным
электроном, помещенным в однородное
электрическое поле
.
Со стороны поля на электрон действует
сила
.
Под действием этой силы он приобретает
ускорение
Здесь
m
– масса электрона. Вектор ускорения
направлен против поля
.
Теперь
получим уравнение движения электрона,
находящегося в периодическом поле
кристалла. Внешнее поле
действует на электрон в кристалле также,
как на свободный электрон, с силой
,
направленной против поля. В случае
свободного электрона сила
была
единственной силой, определяющей
характер движения частицы. На электрон
же, находящийся в кристалле, кроме силы
действуют значительные внутренние
силы, создаваемые периодическим полем
решетки. Поэтому движение этого электрона
является более сложным, чем движение
свободного электрона.
Движение электрона
в кристалле можно описать с помощью
волнового пакета, составленного из
блоховских функций. Средняя скорость
движения электрона равна групповой
скорости волнового пакета:
.
Учитывая, что
для групповой скорости получаем
(1.1.19)
где
- квазиимпульс. Видим, что средняя
скорость электрона в твердом теле
определяется законом дисперсииE
(
).
Продифференцируем (1.1.19) по времени:
(1.1.20)
За
время
электрическое поле
совершит работу
,
которая идет на приращение энергии
электрона:
. Учитывая,
что
получаем
,
или
(1.1. 21)
Последнее
выражение представляет собой уравнение
движения электрона в кристалле. В этом
случае произведение
(dk/dt
)
равно силе
,
действующей на электрон со стороны
внешнего электрического поля. Для
свободного электрона внешняя сила равна
произведению
.
Toт факт, что для электрона в кристалле
уравнение движения не имеет привычной
формы второго закона Ньютона, не означает,
что закон Ньютона здесь не выполняется.
Все дело в том, что уравнение движения
мы записали только с учетом внешних
сил, действующих на электрон, и не учли
силы, действующие со стороны периодического
поля кристалла. Поэтому уравнение
движения не имеет обычного вида
.
Подставим теперь dk/dt , найденное из (1.1.21), в выражение для ускорения (4.20):
(1.1.22)
У
равнение
(1.1.22) связывает ускорение электрона
с внешней силой -
е
.
Если
предположить, что величина
2
(d
2
E
/
dk
2
)
имеет
смысл массы, то (1.1.22) приобретает вид
второго закона Ньютона:
где
-эффективная
масса электрона. Она отражает влияние
периодического потенциала решетки на
движение электрона в кристалле под
действием внешней силы. Электрон в
периодическом поле кристаллической
решетки движется под действием внешней
силы
в среднем так, как двигался бы свободный
электрон под действием этой силы, если
бы он обладал массой m
*.
Таким образом, если электрону в кристалле
вместо массы m
приписать эффективную массу m
*,
то его можно считать свободным и движение
этого электрона описывать так, как
описывается движение свободного
электрона, помещенного во внешнем поле.
Разница между m
*
и m
обусловлена взаимодействием электрона
с периодическим полем решетки, и,
приписывая электрону эффективную массу,
мы учитываем это взаимодействие.
Пользуясь
понятием эффективной массы, задачу о
движении электрона в периодическом
поле решетки
можно свести
к задаче о движении свободного электрона
с массой m
*.
Это значит, что вместо уравнения
Шредингера с периодическим потенциалом
нужно
решать уравнение
.
Если, например, энергия является
квадратичной функцией от
,
то её можно записать так
(1.1.23)
(как для свободного электрона).
Легко
видеть, что для свободного электрона
эффективная масса равна его обычной
массе. В этом случае связь между Е
и
,
откуда
получаем
.
В
общем случае эффективная масса является
анизотропной величиной и для разных
направлений волнового вектора
различна. Она представляет собой тензор
второго ранга
.
Эффективная масса в отличие от обычной массы не определяет ни инерционных, ни гравитационных свойств частицы. Она является лишь коэффициентом в уравнении движения и отражает меру взаимодействия электрона с кристаллической решеткой. Эффективная масса может быть как больше, так и меньше обычной массы электрона. Более того, m * может быть и отрицательной величиной. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующий пример.
Пусть
зависимость E
(
)
в одной из зон имеет вид, показанный на
рис.1.1.9,а). Минимум энергии соответствует
центру зоны Бриллюэна (k
=0),
а максимумы - ее границам (k
=±
/а
).
Часто зоны с такой зависимостью Е
(
)
называют стандартными
.
Эффективная масса определяется кривизной
кривой Е
(
).
Вблизи значений k
,
соответствующих экстремумам функции
E
(
),
закон дисперсии можно представить
параболической зависимостью, аналогичной
зависимости Е
(
)
для свободного электрона. Покажем это.
Если экстремум достигается в точке
,
то разложивE
(k
)
в ряд по степеням
),
получим
Учитывая,
что в точке экстремума
=0
и опуская ввиду малости члены с множителем
,
гдеп>
2,
получаем
Если
отсчет энергии вести от экстремального
значения, то для центра зоны Бриллюэна
(
=0)
получаем соотношение (1.1.23), которое
совпадает с законом дисперсии для
свободного электрона с той лишь разницей,
что m
заменено на m
*.
Дифференцируя E
(k
)
по k
,
находим зависимости,
и
изображенные на рис.1.1.9,6, в).
Видно, что эффективная масса электронов, располагающихся у дна зоны, положительна и близка к массе свободного электрона. В середине зоны, там, где наблюдается перегиб кривой E (k ), эффективная масса становится неопределенной. У потолка зоны электроны обладают отрицательной эффективной массой.
Отрицательная
эффективная масса означает, что ускорение
электрона направлено против действия
внешней силы. Это видно из рис.1.1. 9,б).
При k
,
близких к границе зоны Бриллюэна,
несмотря на увеличение k
,
скорость электрона уменьшается. Данный
результат является следствием брэгговского
отражения. В точке k
=
электрон
описывается уже не бегущей, а стоячей
волной и
.
Поскольку
свойства электронов с отрицательной
эффективной массой очень сильно
отличаются от свойств «нормальных»
электронов, их удобнее описывать,
пользуясь представлением о некоторых
квазичастицах, имеющих заряд +е
,
но положительную эффективную массу.
Такая квазичастица получила название
дырки. Предположим, что в зоне все
состояния, кроме одного, заняты
электронами. Вакантное состояние вблизи
потолка зоны и называют дыркой. Если
внешнее поле равно нулю, дырка занимает
самое верхнее состояние. Под действием
поля
на это вакантное состояние перейдет
электрон с более низкого энергетического
уровня. Дырка при этом опустится. Далее
дырочное состояние займет следующий
электрон и т. д. При этом дырка сместится
вниз по шкале энергий. Таким образом,
ток в кристаллах может переноситься не
только электронами в зоне проводимости,
но и дырками в валентной зоне. Дырочная
проводимость наиболее характерна для
полупроводников. Однако есть и некоторые
металлы, которые обладают дырочной
проводимостью.
Возвращаясь к рис.1.1.9,в отметим, что описывать движение электронов в кристалле, пользуясь понятием эффективной массы, можно только тогда, когда они находятся либо у дна, либо у потолка энергетической зоны. В центре зоны m * теряет смысл. На практике почти всегда приходится иметь дело с электронами, располагающимися или у дна, или у потолка зоны. Поэтому использование эффективной массы в этих случаях вполне оправдано.
Электрон проводимости, электрон металлов и полупроводников, энергия которого находится в частично заполненной энергетической зоне (зоне проводимости, см. Твёрдое тело). В полупроводниках при…
Твёрдое тело, одно из четырёх агрегатных состояний вещества, отличающееся от др. агрегатных состояний (жидкости, газов, плазмы) стабильностью формы и характером теплового движения атомов, совершающих…
Зонная теория твёрдого тела, раздел квантовой механики, рассматривающий движение электронов в твёрдом теле. Свободные электроны могут иметь любую энергию - их энергетический спектр непрерывен…
Гальваномагнитные явления, совокупность явлений, связанных с действием магнитного поля на электрические (гальванические) свойства твёрдых проводников (металлов и полупроводников), по которым течёт ток…
Циклотронный резонанс, избирательное поглощение электромагнитной энергии носителями заряда в проводниках, помещенных в магнитное поле при частотах, равных или кратных их циклотронной частоте. При Ц. р…
Теплоёмкость, количество теплоты, поглощаемой телом при нагревании на 1 градус; точнее - отношение количества теплоты, поглощаемой телом при бесконечно малом изменении его температуры, к этому…
Квантовая жидкость, жидкость, свойства которой определяются квантовыми эффектами. Примером К. ж. является жидкий гелий при температуре, близкой к абсолютному нулю. Квантовые эффекты начинают…
Фермион, ферми-частица, частица или элементарное возбуждение квантовой системы многих частиц - квазичастица, обладающая полуцелым спином. К Ф. относятся все барионы (протон, нейтрон, гипероны и др.) и…
Ферми энергия, ферми-уровень, значение энергии, ниже которой все энергетические состояния частиц вырожденного газа, подчиняющихся статистике ферми - Дирака (фермионов), при абсолютном нуле температуры…
Гелий (лат. Helium), символ Не, химический элемент VIII группы периодической системы, относится к инертным газам; порядковый номер 2, атомная масса 4,0026; газ без цвета и запаха. Природный Г. состоит…
Фонон (от греч. phone - звук), квант колебательного движения атомов кристалла. Колебания атомов кристалла благодаря взаимодействию между ними распространяются по кристаллу в виде волн, каждую из…
Экситон (от лат. excito - возбуждаю), квазичастица, представляющая собой электронное возбуждение в диэлектрике или полупроводнике, мигрирующее по кристаллу и не связанное с переносом электрического…
Квазичастицы (от квази... и частицы), одно из фундаментальных понятий теории конденсированного состояния вещества, в частности теории твёрдого тела. Теоретическое описание и объяснение свойств…
Эффективная масса, величина, имеющая размерность массы, характеризующая динамические свойства квазичастиц . Например , движение электрона проводимости в кристалле под действием внешней силы F и сил со стороны кристаллической решётки (см. Твёрдое тело , Зонная теория)может быть описано как движение свободного электрона, на который действует только сила F (закон Ньютона), но с Э. м. m* , отличной от массы m свободного электрона. Это отличие отражает взаимодействие электрона проводимости с решёткой. Э. м. определяется соотношением:
где x - энергия, р - квазиимпульс электрона проводимости. Если зависимость x(р ) (закон дисперсии) анизотропна, то Э. м. представляет собой тензор (тензор обратной массы):
Это означает, что ускорение электрона в решётке в общем случае направлено не параллельно внешней силе F . Оно может быть направлено даже антипараллельно F , что соответствует отрицательному значению Э. м. Свойства электронов с отрицательной Э. м. столь отличаются от свойств обычных частиц, что оказалось удобнее рассматривать положительно заряженные дырки с положительной Э. м.
